Формула суми арифметичної прогресії: Пояснення та Приклади
Формула суми арифметичної прогресії – це один з важливих інструментів в математиці, який допомагає обчислити загальну суму членів даної арифметичної послідовності. Арифметична прогресія – це послідовність чисел, в якій кожний наступний член утворюється додаванням постійного числа, що називається різницею, до попереднього члена. У даній статті ми детально розглянемо цю формулу, зрозуміємо її походження та продемонструємо практичні приклади застосування.
Що таке арифметична прогресія?
Арифметична прогресія є однією з найпростіших і найвідоміших числових послідовностей. Її основна властивість полягає в тому, що різниця між будь-якими двома послідовними членами є постійною і називається різницею (частіше позначається як d).
Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, … різниця між кожними двома сусідніми членами дорівнює 3. Це означає, що ми маємо арифметичну прогресію з першого члена 2 і різницею 3.
Формула загального члена арифметичної прогресії
Перш ніж перейти до формули суми, важливо зрозуміти, як знайти довільний член арифметичної прогресії. Формула для n-го члена арифметичної прогресії виглядає так:
an = a1 + (n – 1) * d
- an — n-й член прогресії
- a1 — перший член прогресії
- n — номер члена
- d — різниця прогресії
Формула суми N членів арифметичної прогресії
Формула суми N членів арифметичної прогресії може бути виведена шляхом простих обчислень і виглядає наступним чином:
Sn = (n / 2) * (a1 + an)
Або в альтернативному вигляді:
Sn = (n / 2) * (2a1 + (n – 1) * d)
Де:
- Sn — сума перших n членів прогресії
- an — останній член прогресії (може бути знайдений за допомогою формули загального члена)
Таблиця: Порівняння формул для різних видів N
| N | Формула суми |
|---|---|
| 10 | S10 = 5 * (2a1 + 9d) |
| 20 | S20 = 10 * (2a1 + 19d) |
| 30 | S30 = 15 * (2a1 + 29d) |
Практичний приклад
Розглянемо практичний приклад застосування формули суми арифметичної прогресії. Нехай у нас є прогресія 3, 6, 9, …, і ми хочемо знати суму перших 5 членів прогресії.
- Визначимо a1 як 3 і d як 3.
- Знайдемо п’ятий член: a5 = 3 + (5 – 1) * 3 = 15.
- Застосуємо формулу суми: S5 = (5 / 2) * (3 + 15) = 45.
Сума перших 5 членів прогресії дорівнює 45.
Таким чином, формула суми арифметичної прогресії є незамінним інструментом для швидких і точних обчислень у найрізноманітніших задачах. З її допомогою можна з легкістю оперувати великими числовими послідовностями та вирішувати завдання з оптимізації.
